ما هي الأعداد الأولية

الأعداد الأولية

الأعداد الأوليّة

 الأعداد الأوليّة (بالإنجليزيّة: Prime Numbers) هي الأعداد الصحيحة الموجبة (الأعداد الطبيعيّة) الأكبر من واحد، والتي تقبل القسمة على عددين فقط هما العدد نفسه والواحد دون باقٍ؛ حيث لا يمكن تجزئة العدد، وتتميّز الأعداد الأوليّة بأنّها أعداد تصل إلى مالانهاية (بالإنجليزيّة: Infinite Numbers)؛ أي لا حدود لنهايتها، أمّا الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من واحد، وعدد قواسمها أكثر من اثنين فتُسمّى بالأعداد غير الأوليّة أو الأعداد المُركَّبة، وهي أعداد يمكن تجزئتها، بينما العددان (0,1) يُستبعدان من قائمة الأعداد الأوليّة والأعداد المُركَّبة.

ولقد اهتمّ العلماء منذ القدم بالأعداد الأوليّة، وما زالت حتّى يومنا هذا محطّ أنظار علماء الرياضيّات؛ حيث تشير سجلات التاريخ إلى معرفة المصريّين القدماء لمفهوم أوليّة العدد، ومع ذلك يبقى اليونانيّون القدامى هم أوّل من أجرى دراساتٍ جديّةً فيما يخصّ هذا الموضوع، على سبيل المثال بيّن إقليدس في عام 300ق.م في كُتبه أنّ الأعداد الأوليّة لا نهايةَ لها.

وقد كَثُر الجدل حول حقيقة العدد 1؛ إن كان عدداً أوليّاً أو غير أوليّ، ومن تعريف الأعداد الأوليّة فهي الأعداد التي لها قاسمان طبيعيّان، أمّا العدد واحد فله قاسم واحد فقط وهو نفسه فقط، ولا يجوز أن تتكرّر العوامل المتشابهة، وللتوضيح (1×1=1)؛ إِذن عوامله مجموعة الواحد فقط دون تكرار المتشابه من القواسم.

أمثلة على الأعداد الأوليّة والمُركَّبة

 مثال (1): لمَ الأعداد (29,13,7,5) أعداد أوليّة؟الحل: العدد 5 أوليّ؛ والسبب لأنّه يقبل القسمة على نفسه والعدد واحد فقط؛ أي أنّ عدد قواسمه اثنان فقط. العدد 7 عدد أوليّ؛ لأنه يقسم على نفسه والواحد فقط، وعدد قواسمه اثنان أيضاً. العدد 13 عدد أوليّ، كذلك العدد 29 عدد أوليّ؛ وذلك لأنّ كلاً منهما يقسمان على نفسيهما والعدد واحد فقط.

مثال (2): ما هي الأعداد الأوليّة الأصغر من العدد 100؟ الحلّ: الأعداد الأولية الأصغر من العدد 100، هي: (97,89,83,79,73,71,67,61,59,53,47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2).

مثال (3): هل الأعداد (2.5,28.8) أوليّة أم مُركّبة؟ الحلّ: العدد 8 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ عوامل العدد ثمانية هي الأعداد الآتية: (8,4,2,1)؛ أي أنّ لهُ أكثر من قاسمين (4 قواسم)، وبذلك يُستبعَد من قائمة الأعداد الأوليّة. كذلك العدد 28 غير أوليّ؛ لأنّه يقبل القسمة على أكثر من عاملين. والعدد 2.5 عدد غير أوليّ؛ لأنّ من شروط الأعداد الأوليّة أن تكون أعداداً صحيحةً موجبةً، وليست كسوراً، أو أعداداً كسريةً، أو أعداداً سالبةً.

اختبارُ عددٍ ما

 لتعيين أوليّة عدد ما، هناك عدة اختبارات تُستعمَل في تحديد أوليّة أيّ عدد، ومن هذه الاختبارات:

اختبار ميرسيني

 وضع العالم ميرسيني عام 1644م صيغةً على النّحوالآتي: (م ل=2ل-1؛ حيث إنّ (ل) عدد أوليّ، ثمّ تبيّن أنّ م=23×89 عدد مُركَّب)، وقد استُخدِمت صيغة ميرسيني لتحديد أكبر عدد أوليّ، وقد حُدِّد عام 1984م، وهو العدد الذي قيمة (ل) فيه تساوي 216.091، ولم يتمّ إيجاد أيّ صيغة لتعيين الأعداد الأوليّة، وتبيّن عند دراسة قوائم هذه الأعداد أنّها مُشتَّتة وغير موزَّعة بنمط معين ومنتظم، وأنّه كلّما ازدادت قيم الأعداد الأوليّة فإنّ التباعد بينها سيزداد.

اختبار كاوس

في عام 1793م قدّم العالم كاوس ما يُسمَّى بمُبرهنة الأعداد الأوليّة، وتنصّ على أنّه (إذا كان (س) عدداً، والأعداد الأوليّة لا تتجاوز قيمتها العدد س، فإنّ نسبة (س) إلى الدالة س/لع س تنتهي إلى الواحد عندما تنتهي قيمة س إلى مالانهاية)، ولم تثبت صحة هذه المبرهنة إلا في عام 1896م، حين تمّ إثباتها من قبل العالمين بوسان (C.J.V.Poussin) وهادامار (J.Hadamard) كلٌ على حِدة، واُثبِتَت صحّة هذه الصيغة ببراهين عدّة، لكنها كانت تفتقد السهولة والتبسيط، إلى أن قدّم النرويجي سلبرك سنة 1949م برهاناً لجأ فيه إلى استخدام مفاهيم نظرية الأعداد، واتّخذها في برهانه الذي تميّز بالبساطة وعدم التعقيد.

غربال إراتوستينس

يُعدّ غربال إراتوستينس إحدى طرق معرفة الأعداد الأوليّة، اكتشفها عالم يوناني يُدعى إراتوستينس، وسُمِّيت بغربال إراتوستينس نسبةً إلى مبدأ عملها؛ حيث تُنخَّل الأعداد بحذف المُركَّب وإبقاء الأوليّ منها، وتتميّز هذه الطريقة بالسهولة واللين، ولكنها بطيئة؛ فمثلأ لو حُصِرت الأعداد الأوليّة الأقلّ من 100 على طريقة غربال إراتوستينس، بفرض أنّ (ب=2) وهو أصغر عدد أوليّ أقلّ من 100، تُحذَف (ب) وجميع مضاعفاتها (8,6,4,2...) وهكذا حتى العدد مئة، فإنّ أوّل عدد تبقّى ولم يُحذَف بعد ب هو عدد أوليّ وهو العدد (3)، وتُعاد الخطوة بحذف العدد 3 وجميع مضاعفاته من القائمة حتّى آخر رقم، فيتبقى عدد يلي العدد 3 لم يتمّ حذفه وهو العدد (5)، إذن هو أوليّ، وتُعاد الخطوات مرّاتٍ عدّةً للحصول على جميع الأعداد الأوليّة الناتجة من هذه الغربلة.

اكتشاف أكبر عدد أوليّ

لقد اكُشِف أكبر عدد أوليّ من قبل الدّكتور كيرتس كوبر في جامعة ميسوري في أمريكا عن طريق الحاسب الآليّ، ويتكوّن العدد الذي اكتُشِف من أكثر من 22 مليون رقماً، وهو أكبرمن العدد الأوليّ الذي اكتُشِفَ قبله بخمسة ملايين رقم تقريباً، والعدد الذي اكتُشِف حتى الآن حاصلٌ على الترتيب التاسع والأربعين في سلسلة أوليّة ميرسيني؛ وتفيد هذه الأرقام الأوليّة الكبيرة جداً في عمليّات الحوسبة للمستقبل؛ لأنّ الأرقام الحاليّة بالمئات ولم تصل بعد لملايين الأرقام.

خصائص الأعداد الأوليّة

تتميّز الأعداد الأوليّة بعدة خصائص، وهي: تتوزع الأعداد الأوليّة بشكل غير منتظم، والسبب الرئيس يعود إلى عدم استيعاب العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأوليّة، على عكس الأعداد الفردية أو الأعداد الزوجية، فكلما زادت قيمة العدد الأوليّ زادت الفجوة بينه وبين العدد الذي يليه. جميع الأعداد الأوليّة ما عدا (5,2) تنتهي بأحد الأعداد (9,7,3,1)؛ لأنّ الأعداد التي تنتهي بـ (8,6,4,2,0) هي من مضاعفات العدد اثنين فهي بذلك غير أوليّة، والأعداد التي تنتهي بـ (5,0) من مضاعفات العدد خمسة، وهي ليست أوليّة. (إذا كان (أ،ب) عددان صحيحان، وكان (ج) عدداً ثالثاً؛ حيث إنّ (ج) أوليّ، وكان حاصل ضرب العددين (أ × ب) يقبل القسمة على ج، فإنّ (أ) أو (ب) يقبلان القسمة على العدد (ج)، وهذا ما يُسمّى بمبرهنة إقليدس. العدد 2 هو هو أصغر عدد في قائمة الأعداد الأوليّة، وهو العدد الزوجيّ الوحيد فيها.

أهميّة الأعداد الأوليّة

إنّ البيانات تستند في أمنها على مفاهيم عدّة، منها الأعداد الأوليّة؛ حيث تعدّ من أهمّ الأدوات التي تُستخدَم في تشفير البيانات الإلكترونيّة، والمعاملات البنكيّة، وتسجيل الدخول إلى مواقع التواصل الاجتماعيّ، ويكمن مبدأ عمل هذه الأعداد بتشفير المعلومات بشكل أوليّ، وتحويل الرسالة لرقم كبير ينتج عن ضرب عددين أوليّين كبيرين ببعضهما، حيث يُسمّى هذا الرّقم الفتاحَ؛ أي الرّقم السريّ، ولا يمكن اختراقه إلا إذا عُرِفت العوامل الأوليّة التي استُخدِمت لهذه العملية المُعقَّدة، وهذا من الصّعب جداً